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牟合方盖数学题,牟合方盖介绍

发布时间:2023-10-10 06:41来源:奇趣网编辑:QiQu阅读: 当前位置:奇趣网 > 奇闻趣事 > 手机阅读

【2019年上海徐汇区一模14题】

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☆ 什么是“牟合方盖”

1700多年前,公元3世纪,在那个π还代表着国家数学发展水平的年代(就像如今素数的研究代表了一个国家的数学水平),刘徽不仅算出了3.14(徽率),还准备算球的体积,为了算出球的体积,他想象出了一个东西——牟合方盖按照刘徽的想象,当两个底面直径相同的圆柱垂直相交时,它们的交集产生了一种特殊的几何体,刘徽称之为“牟合方盖”,如下图所示:

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☆ 牟合方盖与正方体、球的关系

如果把牟合方盖放入一个边长等于圆柱直径的正方体,它的上下两个顶点,和侧面四个曲面,是刚好和正方体的六个面相接或相切的。而牟合方盖与正方体的内切球也是刚好相切的,如下图所示:

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下面是牟合方盖的三视图:

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下面是同一个正方体内球的三视图:

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若以一个平行于正方体上下底面的平面,同时截“牟合方盖”与内切球,截面为一个正方形和圆形,且该正方形边长等于圆形的直径,所以正方形与圆形的面积之比为4:π,如下图所示:

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因此,刘徽发现,牟合方盖的体积与相应内切球的体积之比也应是4:π,到这里,实际上已经接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列里定理”,可惜的是,他没能算出牟合方盖的体积,以至于最终没能得出球的体积公式。

☆ 牟合方盖的体积

在大概160年以后,祖氏父子横空出世,提出"幂势既同则积不容异",即等高的两立体,若其任意高处的水平截面积相等,则这两立体体积相等,这就是著名的祖暅原理。祖冲之更厉害,不仅首次把π精确到小数点后第7位(祖率),并且保持该项世界纪录近1000年。祖氏利用祖暅原理,最终算出牟合方盖的体积,并最终得到球的体积公式。当然,更厉害的人物是阿基米德,他早于刘徽大约500年就得出球的体积公式,也得出π=3.14。言归正传,下面是牟合方盖的体积计算方法:

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上面右图是一个正方体挖去了两个四棱锥(这两个四棱锥分别以上下底面为底面,以正方体的中心为顶点),设正方体边长为2r。以平行于底面的平面同时截“牟合方盖”和“右图的几何体”,所得截面如上图所示。

左图的截面是一个正方形,设中心到截面的距离为h,可得该正方形边长为2√r²-h²,所以左图的截面面积为4(r²-h²)

右图的截面像一个正方环形,面积是大正方形的面积减去小正方形的面积,边长为2r,所以大正方形面积为4r²,同样设中心到截面的距离为h,可知小正方形的边长为2h,所以小正方形的面积为4h²,即截面面积为4r²-4h²。

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由上可知,两几何体在同一水平位置的截面面积相等,根据祖暅原理,它们的体积相等,右图的体积等于正方体的体积减去两个四棱锥的体积,根据锥的体积公式可知,两个锥的体积之和为正方体体积的1/3,所以该几何体的体积为正方体体积的2/3,即“牟合方盖”的体积为正方体体积的2/3,正方体体积为8r³,所以最终,“牟合方盖”的体积为16r³/3。

结合刘徽得出的结论,“牟合方盖”的体积与内切球的体积之比为4:π,由此得出,球的体积为4πr³/3。

☆ 结语

“牟合方盖”的提出,充分体现了古人丰富的想象能力,以及为解决问题建立模型的智慧。祖氏父子应用这个原理,解决了刘徽尚未解决的球体积公式。该原理在西方直到十七世纪才由意大利数学家卡瓦列利(BonaventuraCavalier)发现,比祖暅晚一千一百多年。刘徽是1700多年前的人,祖氏父子是1500多年前的人,阿基米德更是2200年前的人,以千年前的社会知识水平,就在思考这种问题,简直令人叹为观止,这种智慧的光芒,震古烁今,光耀寰宇。

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