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两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

发布时间:2023-08-12 09:44来源:奇趣网编辑:QiQu阅读: 当前位置:奇趣网 > 奇闻趣事 > 手机阅读

昨日发了一篇文章《咱们来打个赌,很多人估计会输:关于车牌号码的》

说了一个必赢的游戏,现在说游戏背后的玄机。

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

这个玄机同时也是大名鼎鼎的【生日悖论】的玄机,它说的是:如果一个房间里有23个或以上的人,那么至少有两人的生日相同概率要大于50%。

简述昨天的游戏如下:

两个人在公路上,看着来往车辆,然后开始赌:如果连续过往的20辆车中,其车牌尾号的后两位,有两辆车相同,则窃.格瓦拉输掉游戏,而凤凤赢。反之,格瓦拉赢。

也就是说,第一辆车,尾号是1293,第18辆车,尾号是8593,那么凤凤赢,因为尾号后两位都是93。

很多人认为,窃.格瓦拉必然会赢得这个游戏。理由是:

尾号的后两位数字必然只能是00、01、02、03……10、11、12……96、97、98、99这里面的数。也就是说,共有100种不同的后两位尾号。某辆车尾号的后两位,只能是其中的1种,比如“11”。而另一辆车尾号后两位也是“11”的可能性是很低的。因为共有100种可能,所以两辆车后两位尾号相同的概率只有1%。

但令人惊讶的是,凤凤每次赢得此游戏的概率高达87%!

原因如下:(需要计算,如果您不感兴趣,可就此回头)

为保证初中生都能懂,咱们先从简单的计算开始,后面就一目了然了。

有的人冬季出生,有的人在夏季出生。现在我们问,格瓦拉和凤凤碰到一块了,那么他俩在同一个季节出生的概率是多少?

直观的解法:

把两人的出生组合都罗列出来,然后数一数,我们就得到了答案。

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

格瓦拉和凤凤,他俩出生的季节组合,总共只有16种可能,而这16种可能中,却只有4种是在相同季节出生。所以,这两人在相同季节出生的概率为1/4,也就是25%。

正确的解法:

想象一个空空的房间里,此时,格瓦拉先走了进去,我们不知道格瓦拉是在春天出生,还是夏天出生,都有可能。

现在我们问,格瓦拉出生的季节与其他人不同的概率是多大?很简单,因为房间里只有他一人,所以,格瓦拉在春夏秋冬4个季节里可以有4种选择。4中选4,也就是100%。

现在,房间里又进来了另一个人,凤凤。那么,凤凤跟其他人的出生季节不同的概率是多少?

显然,春夏秋冬已被格瓦拉占去了其中一个季节,那么凤凤在4个季节里只剩下3种选择了,4中选3,也就是3/4,即75%。

现在,我们开始算这格瓦拉和凤凤出生季节不相同的概率。

计算方法就是把两人与其他人不同季节出生的概率相乘。

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

再继续问,两人在相同季节出生的概率又是多大?

如下:

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

这表示的意思是,在所有的可能中,减去了所有不同季节出生的可能,那么剩下的就是相同季节出生的可能,或者说概率了。

上面【直观的解法】和【正确的解法】,答案都是一样的。

而现在,我们要用【正确的解法】来解答公路上车牌尾号那个问题。

车牌尾号正确算法:

第一步:跟上面那道简单题一样,先算每辆车与其他车尾号后两位不相同的概率。

想象一片空旷的大广场,第一辆车先驶来,现在问,这第一辆车与其他车尾号后两位不相同的概率是多少?

显然是100%,因为第一辆车的尾号可以是100种中的任何一种,也就是说,在100种中,它可以有100种选择,也就是100中选100,即100%。

接着,第二辆车驶进广场,现在,第二辆车与其他车尾号后两位不同的概率是多少呢?

因为已经有一辆车占去了其中一种,所以第二辆车只有在99种选择了,也就是99%。

第三辆车又驶进广场,显然,它与其他车尾号后两位不同的概率是98%。

…………

以此类推,我们发现,20辆车陆续驶进一个大广场,它们与其他车尾号后两位不同的概率分别是:

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

如果我们要计算这20辆车,它们的尾号后两位都与其他车不相同的概率是多少时,方法还是跟上面那道题一样,把它们都乘起来。

20辆车尾号后两位互相都不同的概率为:

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

同理,当我们要计算20辆车中,其中两车尾号后两位相同的概率,那就拿100%减去20辆车尾号后两位互相都不同的概率就可以了。(回想一下,这其实跟上面春夏秋冬那道题也是一样的。)

所以,连续驶来的20辆车中,两车尾号后两位相同的概率等于:

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

也就是说,如果堵车无聊时,您跟别人打赌,连续驶来的20辆车中,你赌其中有两车尾号后两位相同,你的女友赌不相同,则你每次赢的概率为87%。

延伸:

知道了以上解法后,面对【生日悖论】,你也就知道为什么是那样了。因为解法一样。

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

有23人,为什么两个人同一天生日的概率超过50%

这是有名的生日悖论.生日悖论是指,如果一个房间里有23个或23个以上的人,那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%.这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中,存在两人生日相同的可能性更高.对于60或者更多的人,这种概率要大于99%.从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论,从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上,它才称得上是一个悖论.因为大多数人会认为,23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%.
理解生日悖论的关键在于领会相同生日的搭配可以是相当多的.如在前面所提到的例子,23个人可以产生C(23,2)= 23 × 22/2 = 253 种不同的搭配,而这每一种搭配都有成功相等的可能.生日问题实际上是在问任何23个人中会有两人生日相同的概率是多少.从这样的角度看,在253种搭配中产生一对成功的配对也并不是那样的不可思议.
简而言之就是说.23个人里面就可以产生C(23,2) = 253种搭配,只要这253种搭配中的任意一种满足相同生日的条件,则整个条件就满足了.计算任意人数的结果如下:
1: 0
2: 0.00274
3: 0.00820
4: 0.01636
5: 0.02714
……
20: 0.4114
21: 0.4437
22: 0.4757
23: 0.5073
24: 0.5383
25: 0.5687
……
可见概率第一次大于0.5是在人数为23的时候.因此说23个人中有2人生日相同的概率很大.

两人生日相同的概率大于50%,概率论两个人生日同一天的概率

生日悖论是正确的吗?

可以很负责告诉你,完全正确。

这个问题是我们python老师上课布置的题,我用python写过一个程序来模拟这个问题,可以看到结果,如果是50个人的班,在经过10万个样本班级模拟,97142个样本有相同的,概率97.142%(生日是通过计计算机随机数生成的)

现在从概率论来给你解释:

有n个人,

第一个人生日是365选365

第二个人是365选364(如果第二个人要与第一个人生日不同)

第三个人就是365选363(要和第一个和第二个人都不相同)

第n个人就是365选(365-n+1)(和前面的人都不同)

所以所有人都不相同就是:(是都不相同)

(365/365)*(364/365)*...*(365-n+1/365)  (反斜杠是分号)

有相同就是1-上面这个算式(都不相同的对立就是有相同,哪怕只有两个相同)

代入n=50,可以得出,概率约为97.037%(我用卡西欧科学计数器算的,和我的python模拟结果基本一致)

生日悖论说的是23个人,两个人生日相同概率会超过50%(和上面类似,我通过科学计数器和python程序验证了是大于50%的)

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